Chirale topografische Instabilität in schrumpfenden Kugeln

Nature Computational Science Band 2, Seiten 632–640 (2022)Diesen Artikel zitieren

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Viele biologische Strukturen weisen faszinierende morphologische Muster auf, die an Umwelteinflüsse angepasst sind, die zu ihren wichtigen biologischen Funktionen beitragen und auch Materialdesigns inspirieren. Hier berichten wir über eine chirale Faltentopographie in schrumpfenden Kern-Schale-Kugeln, wie sie in übermäßig dehydrierten Passionsfrüchten beobachtet und experimentell in Silizium-Kern-Schalen unter Luftextraktion nachgewiesen wurde. Bei der Schrumpfverformung verformt sich die Oberfläche zunächst in ein Buckyball-Muster (periodische Sechsecke und Fünfecke) und geht dann in einen chiralen Modus über. Die benachbarten chiralen Zellmuster können weiter miteinander interagieren, was zu einem Aufbrechen der Sekundärsymmetrie und zur Bildung zweier Arten topologischer Netzwerke führt. Wir entwickeln ein Kern-Schale-Modell und leiten ein universelles Skalierungsgesetz ab, um den zugrunde liegenden morphoelastischen Mechanismus zu verstehen und solche chiralen Symmetriebrüche weit über die kritische Instabilitätsschwelle hinaus effektiv zu beschreiben und vorherzusagen. Darüber hinaus zeigen wir experimentell, dass die an lokale Störungen angepasste chirale Eigenschaft genutzt werden kann, um kleine Objekte unterschiedlicher Form und aus unterschiedlichen steifen und weichen Materialien effektiv und stabil zu greifen. Unsere Ergebnisse offenbaren nicht nur chirale Instabilitätstopographien und liefern grundlegende Einblicke in die Oberflächenmorphogenese der deformierten Kern-Schale-Kugeln, die in der realen Welt allgegenwärtig sind, sondern zeigen auch mögliche Anwendungen des adaptiven Greifens auf der Grundlage einer feinen chiralen Lokalisierung.

Die Bildung morphologischer Muster über Längenskalen hinweg ist energetisch günstig für dünnwandige lebende Materie wie Früchte1,2, Gemüse3, Blätter4,5,6, Embryonen7, Organe8, Tumore9 und Gehirne10, bei denen normalerweise ein spontaner Symmetriebruch während des Wachstums oder der Dehydrierung angenommen wird ein entscheidender Faktor für ihre komplexe Faltentopographie6,11,12. Beispielsweise zeigen Pollenkörner von Angiospermenblüten eine Selbstfaltung, wenn sie einer trockenen Umgebung ausgesetzt werden, um ein weiteres Austrocknen zu verhindern13. Während des Fortschreitens des Tumors sammelt sich wachstumsbedingter Reststress an, der zu einem globalen Knickkollaps von Blut- und Lymphgefäßen führt, was die vaskuläre Verabreichung von Krebsmedikamenten unwirksam macht9. Eine Symmetriebrechung in sich entwickelnden Faltenmustern während der Gehirnentwicklung führt zu einem Dickenunterschied zwischen Gyri und Sulci, der eng mit neurologischen Entwicklungsstörungen wie Lissenzephalie, Polymikrogyrie, Autismus-Spektrum-Störungen und Schizophrenie verbunden ist14. Im Hinblick auf seine praktische Anwendung findet die Symmetriebrechung bei der Bildung von Oberflächenmorphologiemustern in verschiedenen Bereichen immer häufiger Anwendung, beispielsweise bei der Mikro-/Nanofertigung flexibler elektronischer Geräte15,16, der Selbstreinigung und Antifouling-Oberfläche17 sowie synthetischen Tarnhäuten18 , formverändernde weiche Aktuatoren19 und adaptive Luftwiderstandsregelung20. Die präzise Vorhersage, Kontrolle und Manipulation reversibler Instabilitätsmorphologien wäre für relevante Anwendungen von entscheidender Bedeutung.

Frühere Arbeiten3,12,21,22,23 zur morphologischen Musterbildung in beanspruchten kugelförmigen Kern-Schalen, einer typischen Struktur, die in der Natur und in Industrietechnologien allgegenwärtig ist, haben eine Vielzahl faszinierender Topographien wie Grübchen-, Buckyball- und Labyrinth-Modi gezeigt. Hier berichten wir über eine chirale Instabilitätstopographie in Kern-Schale-Kugeln. Wir beobachteten, dass sich eine trocknende Passionsfrucht (Passiflora edulia Sims) zunächst in ein periodisches Buckyball-Muster bestehend aus Sechsecken und Fünfecken verformt, sich in einen chiralen Modus entwickelt und bei übermäßigem Schrumpfen faszinierende chirale topologische Netzwerke bildet (Abb. 1). Inspiriert von diesem Naturphänomen untersuchten wir sowohl theoretisch als auch experimentell die morphologische Musterbildung und -entwicklung stark deformierter Kern-Schale-Kugeln, insbesondere die Entstehung eines chiralen Musters und chiraler Gratnetzwerke mit Symmetriebruch an der fortgeschrittenen Bifurkation. Wir haben ein mathematisches Modell und ein Skalierungsgesetz erstellt, um die chirale Instabilität von Kern-Schale-Kugeln zu erfassen, und eine mögliche Anwendung der störungsadaptiven chiralen Lokalisierung untersucht.

a–h, natürliche Beobachtungen (a–d) und Modellvorhersagen (e–h) an Tag 1 (a,e), Tag 2 (b,f), Tag 4 (c,g) und Tag 7 (d,h). ). Beim Schrumpfen verformen sich die Kern-Schale-Kugeln zunächst zu einem Buckyball-Muster (periodische Sechsecke und Fünfecke in b und f) und verwandeln sich dann in einen chiralen Grat (g) und schließlich in ein Gratnetzwerk (h), wobei benachbarte chirale Grate zusammenwachsen . Der Kern erfährt eine isotrope Schrumpfung (Ergänzende Abschnitte I und II sowie Video 1).

Um den zugrunde liegenden Mechanismus zu verstehen und den Morphogeneseprozess effektiv vorherzusagen, betrachten wir eine elastische Kugelschale, die von einem weichen Kern getragen wird. Beim Schrumpfen verformt sich die Schale elastisch, um die Druckspannung abzubauen, während sich der Kern gleichzeitig verformt, um eine perfekte Verbindung an der Grenzfläche aufrechtzuerhalten. In der Theorie der flachen Schale24 können die Koordinaten des Kern-Schale-Systems kartesisch in einer Tangentialebene (oder krummlinig und orthogonal) sein. Dieses Framework kann nur einen Teil der sphärischen Geometrie beschreiben (Extended Data Abb. 1), ist hier aber für theoretische Analysen kompetent. Die Dicke der Oberflächenschicht wird mit hf bezeichnet, während der Radius des Systems mit R dargestellt wird. Der Elastizitätsmodul und die Poissonzahl der Oberflächenschicht werden mit Ef bzw. νf bezeichnet, während Es und νs die entsprechenden Materialeigenschaften sind des weichen Kerns. Die elastische Dehnungsenergie Πf in der Schale kann somit als Summe der Biegeenergie Πben und der Membranenergie Πmem geschrieben werden

wobei \(D={E}_{\mathrm{f}}{h}_{\mathrm{f}}^{3}/[12(1-{\nu}_{\mathrm{f}}^ {2})]\) und \({J}_{\mathrm{f}}={E}_{\mathrm{f}}{h}_{\mathrm{f}}/(1-{\ nu }_{\mathrm{f}}^{2})\) stehen für die Biege- bzw. Dehnsteifigkeit der Schale und \({\overline{{{\mathbf{L}}}}} ; }_{\mathrm{f}}\) stellt die dimensionslose elastische Matrix dar. Der Membrandehnungstensor und der Krümmungstensor werden mit γ bzw. K bezeichnet. Das elastische Verhalten des Kerns kann durch ein Winkler-Fundament25,26 beschrieben werden als

wobei \({K}_{\mathrm{s}}={\overline{E}}_{\mathrm{s}}\sqrt{{p}^{2}+{q}^{2}} /2R\) bezeichnet die Steifigkeit des Kerns23,27, w steht für Durchbiegung, \({\overline{E}}_{\mathrm{s}}={E}_{\mathrm{s}}/(1 -{\nu }_{\mathrm{s}}^{2})\), und p und q repräsentieren die Wellenzahlen entlang der Breiten- bzw. Längenrichtung.

Das kritische Knicken einer Kern-Schale-Kugel beim Schrumpfen ist analog zur hydrostatischen Instabilität einer Kugelschale, bei der im Vorknickstadium ein isotroper Spannungszustand verbleibt, d. h. σαβδαβ = −σ, wobei δαβ das Kronecker-Delta ist. σ bezeichnet den äußeren hydrostatischen Druck und die griechischen Indizes α und β nehmen Werte in {1, 2} an. Nach Koiters Theorie24 wird die elastische Stabilität hauptsächlich durch die zweite Variation der gesamten potentiellen Energie (Πt = Πf + Πs) bestimmt, und man erhält die partiellen Gleichgewichtsdifferentialgleichungen unter Verwendung des Divergenzsatzes,

wobei ein Komma in einem Index eine partielle Ableitung bezeichnet. Als Ansatz betrachten wir folgende Formen für die Verschiebungen im kritischen Knickzustand:

wobei sich A, B und C auf die Amplituden von Wellen beziehen. Setzt man die Gleichungen (4) in die Gleichungen (3) ein und minimiert sie bezüglich k = p2 + q2, erhält man die kritischen Bedingungen für das Einsetzen der Faltenbildung:

wobei kcr, σcr und ℓcr jeweils die kritische Wellenzahl, die Druckspannung und die Wellenlänge bezeichnen, \(c=\sqrt{3(1-{\nu }_{\mathrm{f}}^{2})} \). Hier definieren wir einen dimensionslosen Schlüsselparameter \({C}_{\mathrm{s}}=({E}_{\mathrm{s}}/{E}_{\mathrm{f}}){(R /{h}_{\mathrm{f}})}^{3/2}\), das das Steifigkeitsverhältnis von Kern-Schalen und die geometrische Krümmung charakterisiert, um die Musterauswahl zu klassifizieren. Sobald die kritische Wellenzahl kcr gelöst ist, können die theoretische Knickspannung und die Wellenlänge berechnet werden (Abb. 2a). Während des natürlichen Dehydrierungsprozesses von Passionsfrüchten können die Moduli sowohl der Oberflächenschicht als auch des weichen Kerns größer werden (was bedeutet, dass die Oberflächenschicht und der Kern steifer werden), wir haben jedoch beobachtet, dass die Faltenbildungswellenlänge in Experimenten (Abb. 1 und Ergänzungsvideo 1) bleibt nahezu unverändert, und diese kritische Wellenlänge ℓcr hat eine gewisse inhärente (aber implizite) Beziehung zum Modulverhältnis Es/Ef (Gleichung (5)). Daher ist es sinnvoll, bei der Berechnung annähernd anzunehmen, dass das Modulverhältnis Es/Ef bei der Dehydrierung relativ konstant bleibt. Beachten Sie, dass sowohl natürliche als auch numerische Beobachtungen (Abb. 1b, f) zeigen, dass das aus Sechsecken und Fünfecken bestehende Buckyball-Muster die gesamte Kugel (nicht abwickelbare Oberfläche) bedeckt, der vorherrschende Knickmodus in Kern-Schale-Kugeln jedoch sechseckig ist. Auch innerhalb des flachen Schalengerüsts (einem Teil der Kugel)24 ist es eine analytische Herausforderung, sowohl Sechsecke als auch Fünfecke zur Beschreibung der gesamten Kugeloberfläche zu verwenden. Daher gehen wir in Gleichung (4) von diesem dominanten hexagonalen Modus (Verschiebungsfeld) aus und der auf unserer Theorie basierende kritische Faltenzustand zeigt eine gute Übereinstimmung mit numerischen Simulationen. Gleichung (5) deckt tatsächlich den klassischen Knickfall einer Kugelschale ohne Kern (Ks = 0) ab, für den es explizite Lösungen für den kritischen Schwellenwert gibt, d. h. σ0 = Efhf/cR, k0 = 2cR/ hf und \({\ell }_{0}=\uppi \sqrt{2R{h}_{\mathrm{f}}/c}\).

a, Die kritische hexagonale Faltenwellenlänge ℓcr als Funktion des dimensionslosen Parameters \({C}_{\mathrm{s}}=({E}_{\mathrm{s}}/{E}_{\mathrm{ f}}){(R/{h}_{\mathrm{f}})}^{3/2}\), der das Modulverhältnis und die Krümmung charakterisiert. b, Ein Skalierungsgesetz (Methoden) für den Übergang vom hexagonalen zum chiralen Modus. Unsere theoretischen Vorhersagen stimmen gut mit FEM-Simulationen überein, wobei C1 die Steigung bezeichnet.

Quelldaten

Obwohl der kritische Knickzustand mithilfe einer Stabilitätsanalyse analytisch vorhergesagt werden kann, bleibt die sekundäre Bifurkation mit dem Übergang vom hexagonalen zum chiralen Modus im Postknickstadium eine theoretische Herausforderung. Hier haben wir ein Skalierungsgesetz abgeleitet, um weitere Einblicke in solche chiralen Symmetriebrüche zu erhalten, die weit über den kritischen Schwellenwert hinausgehen (Methoden). Wir gingen davon aus, dass jeder Y-förmige Grat in den Faltensechsecken als Doppelschichtsystem betrachtet werden kann und dass daher die chirale Gratinstabilität von Kern-Schale-Kugeln als Knickung von Doppelschichtplatten unter Druck vereinfacht werden kann. Die Minimierung der Systemenergie führt zu chiralen Spannungen, die der linearen Beziehung in Abb. 2b folgen, was durch numerische Simulationen bestätigt wird.

Um die gesamte topografische Entwicklung nach dem Knicken zu verfolgen, haben wir die Finite-Elemente-Methode (FEM) angewendet, indem wir verschiedene geometrische und Materialparameter berücksichtigten (Ergänzungsabschnitt II). Die größte Herausforderung liegt in der Lösung nichtlinearer Gleichungen, da mehrere Lösungszweige im Post-Knick-Regime über mehrere Bifurkationen verbunden werden können. Darüber hinaus muss bei Instabilitäten, die extrem lokalisiert sind (z. B. das in Abb. 1c, d gezeigte Gratnetzwerk), eine lokale Übertragung der elastischen Dehnungsenergie von einem Teil des Systems auf die benachbarten Regionen stattfinden, und möglicherweise können globale Lösungsmethoden angewendet werden auf Schwierigkeiten bei der Konvergenz stoßen. Um diese Schwierigkeit zu lösen, haben wir einen pseudodynamischen Algorithmus implementiert, indem wir geschwindigkeitsabhängige Dämpfungs- und Trägheitsterme einführten, die natürlich als Störung betrachtet werden können, um der Berechnung zu ermöglichen, die instabilen Übergänge zu durchlaufen und eine chirale Symmetriebrechung auszulösen (Methoden). Die Bifurkationsporträts der dimensionslosen Durchbiegung ∣w∣/hf für verschiedene Kern-Schale-Kugeln mit unterschiedlichen Cs beim Schrumpfen sind in Abb. 3 dargestellt. An den kritischen Schwellen treten zunächst periodische Buckyball-Faltenmuster (mit vorherrschenden Sechsecken) und überkritischer Bifurkation auf. Bei weiterer Schrumpfung treten Übergange vom hexagonalen zum chiralen Modus auf, wobei sich Y-förmige Grate in den Faltensechsecken zu chiralen Graten ausbeulen können. Benachbarte chirale Zellmodi können weiter miteinander interagieren und so zwei Arten topologischer Netzwerke bilden. Während die Symmetrie bei weiterer Schrumpfung schließlich gebrochen wird, was zu universellen Übergängen vom hexagonalen zum chiralen Modus führt, führen unterschiedliche Cs-Werte zu unterschiedlichen kritischen Schwellenwerten und Wellenlängen für den Buckyball-Knickmodus (wobei das Sechseck dominiert).

a–f, Diagramme für Cs-Werte von 12,7 (a), 9,09 (b), 7,07 (c), 3,98 (d), 3,18 (e) und 2,55 (f), die das Buckyball-Muster zeigen (wobei Sechsecke vorherrschen) (i ) und chirale Gratnetzwerke (ii und iii). Übermäßige Schrumpfung führt zu einer fortgeschrittenen Symmetriebrechung des Buckyball-Modus, die schließlich in den chiralen Modus und das chirale Gratnetzwerk übergeht.

Quelldaten

Basierend auf diesem theoretischen Verständnis haben wir als nächstes ein Demonstrationsexperiment entworfen, um einen solchen Instabilitätsmechanismus zu nutzen, um eine Musterabstimmbarkeit zu erreichen, indem wir flüssiges Silikon verwenden, das in einer gut gestalteten Form zu jeder gewünschten Form erstarren kann. Wir haben eine Kugelschale mit einem sechseckigen Muster auf der Oberfläche, einem Hohlraum und einem kleinen Loch (Durchmesser ~4 mm) für die Luftabsaugung hergestellt, um eine Schrumpfung herbeizuführen (Methoden). Da Silikon einen viel niedrigeren Elastizitätsmodul als Passionsfrucht hat, knickt die glatte Schalenstruktur nicht in sechseckige Muster ein (kann den in Abb. 3 gezeigten fortgeschrittenen Gabelungsbereich nicht erreichen), sondern weist bei Druckbelastung durch Luftabsaugung eine globale Verformung auf (Methoden und Ergänzungen). Video 5). Um uns auf die chirale Bifurkation zu konzentrieren und die Kontrolle der Instabilitätsmorphologie an dieser Bifurkation zu erleichtern, haben wir künstliche hexagonale Muster auf der Schalenoberfläche hergestellt. Wir extrahierten langsam Luft (~2 ml s−1) aus der Probe, um den Druck (~10 kPa) so zu kontrollieren, dass ein Zustand homogener Kompression perfekt erreicht werden konnte. Bemerkenswerterweise bilden diese gut gestalteten hexagonalen Netzwerke auf der Oberfläche der Probe chirale Muster (Abb. 4a – d und Zusatzvideo 2), analog zur Beobachtung stark dehydrierter Passionsfrüchte und Modellvorhersagen (Abb. 1). Darüber hinaus können wir die Position lokaler chiraler Netzwerke flexibel steuern, indem wir externe Störungen auferlegen, wie in Abb. 4e – h (Methoden und Zusatzvideo 3) dargestellt, was mit den FEM-Simulationen in Abb. 4i – l übereinstimmt. Diese Experimente demonstrieren nicht nur einen Übergang vom hexagonalen zum chiralen Modus, der mit unseren theoretischen Vorhersagen übereinstimmt, sondern geben auch Aufschluss über rationale Entwürfe kontrollierbarer chiraler Muster.

a–d, Die experimentelle Bildung eines chiralen Gratnetzwerks mit kontinuierlicher Luftabsaugung, die den Übergang vom hexagonalen zum chiralen Modus mit zunehmender Schrumpfung von Kern-Schalen zeigt (Ergänzungsvideo 2). e–l, Die Lokalisierung abstimmbarer chiraler Netzwerke auf gekrümmten Oberflächen (Ergänzungsvideo 3), ausgelöst durch eine Störung (Stich durch einen Stab) in Experimenten (e–h), im Einklang mit numerischen Simulationen (i–l).

Basierend auf diesen Erkenntnissen zeigen wir, dass diese durch Störungen verursachte chirale Instabilität genutzt werden kann, um kleine Objekte mit unterschiedlichen Geometrien und aus unterschiedlichen steifen oder weichen Materialien effektiv und stabil zu greifen. Das zu greifende Objekt wirkt als lokale Störung, wenn es mit der hexagonal gemusterten Schale in Kontakt kommt, und wird dann adaptiv durch die induzierten lokalen chiralen Netzwerke fixiert. Ähnlich wie beim oben genannten Versuchsaufbau haben wir eine halbkugelförmige Schale mit einem sechseckigen Oberflächenmuster als Hauptkörper des Greifers hergestellt. Am Boden der Kappe wurde ein kleines Loch zur Luftabsaugung angebracht. Anschließend wurde der gesamte Greifer auf einem Hubrahmen befestigt, um die Bewegung gleichmäßig zu steuern. Wenn die gekrümmte halbkugelförmige Kappe das Ziel berührt, löst der durch die Kontaktstörung verursachte Symmetriebruch die Lokalisierung des chiralen Netzwerks aus. Das chirale Muster und die Grenzflächenreibung passen sich spontan an die Wechselwirkungen an den Kontaktflächen an, die natürlich von der Form und Steifigkeit des Objekts beeinflusst werden, sodass durch diese intelligente Verriegelung zusammen mit der Luftabsaugung verschiedene Objekte gegriffen werden können (Abb. 5, Ergänzende Abbildung 4 und Video 4). Als wir den Druckunterschied wiederherstellten, also den Hohlraum der Kappe aufblähten, verwandelten sich die chiralen Netzwerke elastisch in Sechsecke zurück und gaben das ergriffene Objekt frei. Die Kontrastexperimente zeigten, dass die halbkugelförmigen Kappen mit glatter Oberfläche (keine chirale Instabilität) diese Objekte überhaupt nicht greifen konnten (Ergänzungsvideo 5), was die entscheidende Rolle der Lokalisierung des chiralen Netzwerks im Greifprozess unterstützt.

a–j, Ergreifen verschiedener Gegenstände: Raute (a,b), Nuss (c), Schraube (d), Mungbohne (e), Sojabohne (f), Blaubeere (g), herzförmiges Bonbon (h) , unregelmäßig geformtes Glas (i) und Glaskugel (j). Die chirale Verformung ermöglicht ein effektives, zieladaptives Greifen (Ergänzungsvideo 4).

Wir haben das Brechen der chiralen Modussymmetrie bei übermäßiger Schrumpfung von Kern-Schale-Kugeln enthüllt, das durch unsere Theorien und Berechnungen in guter Übereinstimmung mit sorgfältig geplanten Experimenten formelhaft beschrieben und präzise vorhergesagt werden kann. Über die kritische Buckyball-Faltung hinaus entstehen bei übermäßiger Verformung chirale Grate auf den gekrümmten Oberflächen, und die benachbarten chiralen zellulären Y-förmigen Moden können weiter miteinander interagieren, um fortgeschrittene chirale topologische Netzwerke zu bilden. Die kritischen Buckyball-Faltenbildungsbedingungen können analytisch mithilfe einer linearen Stabilitätsanalyse ermittelt werden, während eine starke Nichtlinearität (sowohl geometrisch als auch materiell) im Post-Knick-Regime schrumpfender Kugeln zu erheblichen Schwierigkeiten bei den theoretischen Vorhersagen fortgeschrittener Bifurkationen und der damit verbundenen morphologischen Muster führt. Folglich müssen theoretische Analysen zu sekundären und mehrfachen Bifurkationen chiraler Instabilität auf Dimensionsanalysen (Skalierungsgesetze) zurückgreifen, die auf bestimmten vereinfachten Modellen basieren. Aus rechnerischer Sicht besteht die größte Herausforderung bei extrem schrumpfenden Kugeln bei großer Dehnung in der Lösung hochgradig nichtlinearer Gleichungen. Die klassischste Lösungsmethode zur Lösung nichtlinearer statischer Probleme ist die pfadfolgende Fortsetzungstechnik wie die von Riks, während bei extremen Faltenproblemen bei großen Verformungen die numerische Konvergenz nicht immer gewährleistet werden kann, da eine große Anzahl von Lösungszweigen über mehrere verbunden werden kann Gabelungen. Diese Tatsache motivierte uns, die dynamische Relaxationsmethode anzuwenden, um einige lokalisierte Energiebarrieren in den nichtlinearen Entwicklungspfaden zu überwinden, während die dynamische Methode unterkritische Bifurkationen und Hysterese nicht einfach vorhersagen kann. Um sowohl bei der theoretischen als auch bei der rechnerischen Analyse mehrerer Bifurkationen in stark nichtlinearen Evolutionspfaden Fortschritte zu erzielen, sind möglicherweise fortgeschrittenere mathematische Ansätze erforderlich.

Inspiriert durch die chirale Instabilitätstopographie, die durch lokale Störungen hervorgerufen wird, haben wir eine beispielhafte Anwendung des zieladaptiven Greifens basierend auf chiraler Lokalisierung demonstriert, während zukünftige Arbeiten möglicherweise intelligente aktive Materialien wie hartmagnetische weiche Materialien und Flüssigkristallelastomere zur Verbesserung nutzen multifunktionale Designs unter multiphysikalischen Reizen. Unsere Ergebnisse liefern nicht nur physikalische Einblicke in die Faltentopographie stark verformter Kern-Schale-Kugeln nach einem universellen Gesetz, sondern ebnen auch einen vielversprechenden Weg zur Realisierung multifunktionaler Oberflächen durch die Nutzung fruchtbarer Topographie auf gekrümmter Geometrie.

Wir haben eine Dimensionsanalyse durchgeführt, um die chirale Bifurkation von Kern-Schale-Kugeln (Extended Data Abb. 1) bei Dehydratisierung (entspricht thermischer Schrumpfung) vorherzusagen. Basierend auf den experimentellen Beobachtungen und numerischen Berechnungen gingen wir davon aus, dass jeder Zellrücken vor der chiralen Instabilität als geschichtete Platte betrachtet werden kann und daher die chirale Gabelung eines Zellgrats als Knickung einer Doppelschicht unter Schrumpfungsspannung vereinfacht werden kann (Erweiterte Daten). Abb. 1c). Ein solcher plattenförmiger Grat hat die Länge L und die Dicke t und besteht aus einer oberen Schicht mit der Breite hf und einer unteren Schicht mit der Breite hs. Jede Schicht hat einen Elastizitätsmodul Eζ, eine Poissonzahl νζ und eine Biegesteifigkeit \({D}_{\zeta }={E}_{\zeta }{t}^{3}/[12(1-{\nu } _{\zeta }^{2})]\), wobei ζ „f“ oder „s“ ist.

Die Biegeenergien der oberen und unteren Schichten können ausgedrückt werden als:

Dabei bezeichnen uf und us jeweils die Auslenkung der oberen und unteren Schicht aus der Ebene, während Ω1 und Ω2 die Fläche der Mittelfläche der oberen bzw. unteren Schicht darstellen.

Als Ansatz betrachten wir folgende Formen für die Auslenkungen im chiralen Knickzustand:

wobei die Funktionen Φf(z) und Φs(z) in Reihen exponentieller Zerfallsfunktionen erweitert werden können als

wobei kfi und ksi Koeffizienten der folgenden Ordnung sind:

und die Verschiebungskontinuitätsbedingung ist an der Schnittstelle der oberen und unteren Schichten erfüllt, d. h. Φf(hs) = Φs(hs).

Nach den Gleichungen (8) bis (12) erhält man

Setzt man Gleichung (13) in die Gleichungen (6) und (7) ein, erhält man die Biegeenergien

wobei \({a}_{1}=\iint {\left[{\sum }_{i}{A}_{\mathrm{f}i}\left({k}_{\mathrm{f }i}\tilde{z}{h}_{\mathrm{f}}\right)\sin \left(\uppi \tilde{y}\right)\right]}^{2}{{{\rm {d}}}}\tilde{y} \, {{{\rm{d}}}}\tilde{z}\), \({a}_{2}=\iint {\left[{\ Summe }_{i}{A}_{\mathrm{s}i}\left({k}_{\mathrm{s}i}\tilde{z}{h}_{\mathrm{s}}\ rechts)\sin \left(\uppi \tilde{y}\right)\right]}^{2}{{{\rm{d}}}}\tilde{y} \, {{{\rm{d }}}}\tilde{z}\), \(\tilde{y}=y/L\) und \(\tilde{z}=z/{h}_{\zeta }\).

Die Membranenergie kann durch die Dehnungen in der Ebene bestimmt werden, die durch gegeben sind (beachten Sie, dass der Einfachheit halber der Index ζ weggelassen wurde).

wobei εsh die thermische Schrumpfspannung ist und v und w die Verschiebungen in der Ebene in der Mittelfläche entlang der y- bzw. z-Richtung darstellen, deren Reihenfolge durch Minimierung der Membranenergie bestimmt werden kann. Folglich können die Verschiebungen in der Ebene in der Mittelfläche als v = By und w = Cz angenähert werden, wobei sich B und C auf die Variationssteigungen beziehen.

Die Membranenergien der oberen und unteren Schichten können ausgedrückt werden als:

Nach den Gleichungen (8) bis (12) und (16) bis (18) ergeben sich die Membranenergien

Da sich die obere und untere Schicht gleichzeitig verbiegen, führt die Kombination der Gleichungen (14), (15), (21) und (22) zu

nämlich,

Beachten Sie, dass a1/a2 eine nicht negative Konstante ist. Basierend auf Berechnungen und Gleichung (24) ergibt das Skalierungsgesetz die folgende explizite Form für die chirale Schrumpfspannung εc:

wobei C1 = 0,029 ein Anpassungskoeffizient ist. Das Skalierungsgesetz in Gleichung (25) stimmt gut mit Finite-Elemente-Simulationen für chirale Bifurkation überein (Abb. 2b).

Wir haben Finite-Elemente-Simulationen in der kommerziellen Software Abaqus durchgeführt, basierend auf Parametern, die experimentellen Beobachtungen ähneln. Da die Verformung von Kern-Schale-Kugeln groß sein kann (bis zu 30 % Schrumpfungsdehnung), haben wir das weit verbreitete hyperelastische Neo-Hookesche (nHk) Stoffgesetz sowohl für die Oberflächenschicht als auch für den weichen Kern angewendet, während anspruchsvollere hyperelastische Konstitutionen wie z wie das Mooney-Rivlin (MR)-Modell wurden ebenfalls untersucht, zeigten jedoch triviale quantitative Unterschiede, die den wesentlichen nichtlinearen Mechanismus des Instabilitätsproblems nicht veränderten. Die elastische Spannungsenergiedichtefunktion des nHk-Modells ist definiert als

wobei \({C}_{10}=E/4\left(1+\nu \right)\) und \({D}_{1}=6\left(1-2\nu \right) /E\) sind Materialparameter. Die Volumenänderung lautet \(J=\det ({{{\mathbf{F}}}})\), wobei F der Deformationsgradiententensor ist. Die erste Dehnungsinvariante lautet \({I}_{1}={{{\rm{tr}}}}({{{{\mathbf{F}}}}}^{\mathrm{T}}\cdot {{{\mathbf{F}}}})\). Wir haben hexaedrische Volumenelemente mit acht Knoten (C3D8R) für den weichen Kern und dünne Schalenelemente (S4R) für die Oberflächenschicht gekoppelt, indem wir eine „Tie“-Beschränkung an der Schnittstelle verwendet haben. Die Netzkonvergenz wurde für alle Simulationen sorgfältig untersucht. Die größte Herausforderung besteht in der Lösung der nichtlinearen Gleichungen, da zahlreiche Lösungszweige nach dem Knicken über mehrere Gabelungen verbunden werden können23,28. Daher haben wir die dynamische Relaxationsmethode angewendet, um die Berechnung durch die instabilen Übergänge zu ermöglichen, wodurch geschwindigkeitsabhängige Dämpfungs- (C) und künstliche Trägheitsterme (M) in die statische Gleichgewichtsgleichung eingeführt werden (R(U, λ) = 0). , was zu

Dabei ist R die Restkraft, U unbekannte Variablen und λ ein inkrementeller Belastungsparameter. Realistische Definitionen von Masse und Dämpfung waren nicht erforderlich; Daher legen wir diese Größen fest, um eine optimale Konvergenz von t → U(t) für große Zeitwerte t zu erhalten (hier keine physikalische Bedeutung). Wenn das Modell stabil (quasistatisch) ist, bleibt die viskose Energiedissipation recht gering, sodass die künstliche Dämpfung die Lösung nicht wesentlich stört. Wenn das System dazu neigt, dynamisch instabil zu sein, erhöhen sich die Knotengeschwindigkeiten und somit kann ein Teil der freigesetzten elastischen Spannungsenergie durch die Dämpfung abgebaut werden. Auf den Kern wurde eine Schrumpfungslast (entspricht thermischer Ausdehnung oder Restspannung) ausgeübt, während die Oberflächenschicht belastungsfrei war, was ausgedrückt werden kann als

wobei α, ΔT und I jeweils für den thermischen Ausdehnungskoeffizienten, die Temperaturänderung und den Identitätstensor zweiter Ordnung stehen. Die Schrumpflast εsh kann auch durch eine isotrope Restdehnung εsh = εres = −λI charakterisiert werden. In den in Abb. 1e–h gezeigten numerischen Berechnungen haben wir R/h = 50 angenommen und \({C}_{\mathrm{s}}=({E}_{\mathrm{s}}/{E} _{\mathrm{f}}){(R/{h}_{\mathrm{f}})}^{3/2}=9,09\).

Um eine flexible Abstimmbarkeit chiraler Muster zu erreichen und den Übergang vom hexagonalen zum chiralen Modus für die Erzielung intelligenter Oberflächen weiter zu nutzen, haben wir Demonstrationsexperimente entworfen, die auf der Luftextraktion aus Silizium-Kern-Schale-Kugeln basieren. Das einfache Versuchssystem besteht aus zwei kombinierten halbkugelförmigen Kappen mit einem Kanal, der den inneren Hohlraum verbindet, und einem äußeren Rohr zur Luftabsaugung. Um ein sechseckiges Netzwerk auf der Oberfläche der halbkugelförmigen Kappe zu erreichen, haben wir mithilfe der dreidimensionalen Drucktechnologie eine Form mit einem sechseckigen Netzwerk entworfen. Dann gossen wir zweiteiliges flüssiges Silikon (Hongyejie Technology Co. Ltd.) im Massenverhältnis 1:1 ein. Flüssigsilikon muss 3 Stunden bei 25 °C stehen, um vollständig auszuhärten. Um in der Mitte der Probe einen Hohlraum zu schaffen, haben wir einen halbkugelförmigen Deckel angebracht, dessen Durchmesser etwas kleiner als der Außendurchmesser war, um den Boden der Form abzudecken, während das flüssige Silikon aushärtete. Nachdem das flüssige Silikon ausgehärtet und entformt war, klebten wir zwei identische Halbkugelkappen zusammen. Die typischen Parameter der Proben waren ein Außendurchmesser von 2R = 70 mm, ein Durchmesser des inneren Hohlraums von 2r = 58 mm und eine hexagonale Zelllänge von L = 4,33 mm, eine Höhe von H = 2,61 mm und eine Dicke von t = 0,75 mm. Das experimentelle Verfahren zur Realisierung funktioneller chiraler Oberflächen ist in Extended Data Abb. 2 dargestellt. Der innere Hohlraum der Proben wurde abgepumpt und drucklos gemacht, um einen Zustand homogener Schrumpfung zu erzeugen. Um die Auswirkungen der Schrumpfung auf den Übergang vom hexagonalen zum chiralen Modus zu demonstrieren, haben wir die Luft in den Proben langsam abgesaugt, um die durch Dehydrierung verursachte Schrumpfung von Passionsfrüchten nachzuahmen. Wenn sich die Proben auf bestimmte Werte elastisch verformten, verlor das hexagonale Netzwerk an Stabilität und verformte sich in eine chirale Topographie (Abb. 4a – d). Beachten Sie, dass dieser Modusübergang reversibel ist, wenn die Luft wieder in die Probe eintritt und die Druckdifferenz wiederhergestellt wird. Um die Einstellbarkeit der chiralen Lokalisierung weiter zu veranschaulichen, haben wir irgendwo auf der Oberfläche eine kleine Störung (Stich durch einen Stab) angebracht, um die Umwandlung des hexagonalen in den chiralen Modus auszulösen (Abb. 4e – h), während die Probe einer homogenen Schrumpfung ausgesetzt war , was gut mit Finite-Elemente-Simulationen übereinstimmte (Abb. 4i – l). Diese Strategie kann Aufschluss über das Design programmierbarer Funktionsoberflächen wie adaptives Greifen basierend auf chiraler Lokalisierung geben.

Basierend auf dem oben genannten Experiment präsentieren wir einen zieladaptiven Greifer, der kleine Objekte basierend auf einer Transformation des hexagonalen in den chiralen Modus greifen kann. Einfache Struktur, einfache Steuerung, Formanpassung und filterbares Greifen sind herausragende Vorteile des chiralen Greifers. Das Greifersystem besteht aus einer halbkugelförmigen Schale mit sechseckiger Topographie, einem Luftkanal und einem Hubrahmen, der sich auf und ab bewegen kann (Ergänzende Abbildung 3). Der Luftkanal und der halbkugelförmige Teil bilden eine Hohlraumstruktur, wobei ersterer mit einer externen Absaugvorrichtung verbunden ist, um den Übergang vom hexagonalen zum chiralen Modus durch Luftabsaugung auszulösen. Der Hubrahmen wird mit der Kappe kombiniert, um die Bewegung zu steuern. Das Funktionsprinzip des Greifers wird wie folgt beschrieben: Der Hubrahmen senkt sich ab, damit sich der Greifer einem Ziel nähert. Wenn das hexagonale Netzwerk auf der gekrümmten Oberfläche das Objekt berührt, löst die Kontaktstörung die topografische Verformung von hexagonal zu chiral aus, die gut zur Zielform passt. Dann beginnt die Absaugvorrichtung, Luft zu pumpen. Mit zunehmender Luftentnahme kann die chirale Topographie das Objekt fest umschließen, um einen stabilen Halt zu erreichen. Schließlich verlässt der Gegenstand beim Anheben des Hubgestells den Schreibtisch. Wenn der Druckunterschied wiederhergestellt ist, kehrt die chirale Topographie elastisch zu hexagonalen Netzwerken zurück und gibt das ergriffene Objekt frei. Wir führten topografische Greifexperimente an steifen oder weichen Objekten unterschiedlicher Form und Größe durch (Abb. 5 und ergänzende Abb. 4). Unsere Experimente haben gezeigt, dass der Greifer verschiedene kleine Objekte intelligent und stabil greifen kann. Um die entscheidende Rolle der chiralen Topographie beim robusten Greifen weiter zu demonstrieren, führten wir Kontrastexperimente durch, indem wir eine halbkugelförmige Kappe mit glatter Oberfläche herstellten. Bis auf das Fehlen des anfänglichen sechseckigen Netzwerks auf der Oberfläche blieben die übrigen Parameter des Greifers genau die gleichen wie bei den oben genannten Greifversuchen. Aufgrund der glatten Oberfläche rutschten die Ziele ab, was zu einem Versagen beim effektiven Greifen führte (Ergänzungsvideo 5). Unsere Experimente beweisen nicht nur die entscheidende Rolle der chiralen Topographie für ein effektives, zieladaptives Greifen, sondern werfen auch Licht auf intelligente Greiferdesigns.

Weitere Informationen zum Forschungsdesign finden Sie in der mit diesem Artikel verlinkten Nature Research Reporting Summary.

Quelldaten für die in den Abbildungen gezeigten FEM-Berechnungen. 2 und 3 liegen diesem Manuskript bei.

Der in dieser Studie verwendete Code kann von Zenodo29 bezogen werden.

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Diese Arbeit wird unterstützt von der National Natural Science Foundation of China (Zuschüsse Nr. 12122204, 11872150 und 11921002), dem Shanghai Pilot Program for Basic Research-Fudan University (Zuschuss Nr. 21TQ1400100-21TQ010) und dem Shanghai Shuguang Program (Zuschuss Nr. 21SG05). , Shanghai Rising-Star Program (Fördernummer 19QA1400500) und Nachwuchswissenschaftlerprojekt der MOE-Innovationsplattform.

Institut für Mechanik und Computertechnik, Abteilung für Luft- und Raumfahrt, Fudan-Universität, Shanghai, VR China

Fan Xu, Yangchao Huang und Shichen Zhao

Institut für Biomechanik und Medizintechnik, AML, Abteilung für technische Mechanik, Tsinghua-Universität, Peking, VR China

Xi-Qiao Feng

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FX und X.-QF hatten die Idee. FX hat die Forschung entworfen. YH und SZ führten die Experimente durch. FX und YH entwickelten die theoretischen Modelle und führten die Dimensionsanalysen durch. YH und SZ führten die numerischen Simulationen durch. FX, YH und SZ interpretierten die Ergebnisse. FX und YH haben das Manuskript geschrieben. Alle Autoren lieferten hilfreiche Diskussionen.

Korrespondenz mit Fan Xu oder Xi-Qiao Feng.

Die Autoren erklären, dass sie keine konkurrierenden Interessen haben.

Nature Computational Science dankt Francesco Dal Corso, Ahmer Wadee und den anderen, anonymen Gutachtern für ihren Beitrag zum Peer-Review dieser Arbeit. Bearbeitungsredakteur: Jie Pan, in Zusammenarbeit mit dem Nature Computational Science-Team. Peer-Reviewer-Berichte sind verfügbar.

Anmerkung des Herausgebers Springer Nature bleibt hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten neutral.

(ein Querschnitt. (b) Geometrie einer Kern-Schale-Kugel. (c) Schematische Darstellung der chiralen Knickung einer Y-förmigen zellulären repräsentativen Schichtplatte.

(a) Gießen Sie flüssiges Silikon auf eine 3D-gedruckte Form mit sechseckigem Netzwerk auf der Oberfläche. (b) Erstellen Sie einen Hohlraum in der Probe, indem Sie eine halbkugelförmige Abdeckung verwenden, während das flüssige Silikon aushärtet. (c) Eine halbkugelförmige Siliziumschale mit sechseckigem Muster auf der Oberfläche. (d) Zwei halbkugelförmige Schalen mit sechseckigem Netzwerk sind verklebt und können getrennt werden, wobei ein Kanal den inneren Hohlraum und das äußere Rohr zur Luftabsaugung verbindet.

Ergänzende Abbildungen. 1–4 und Tabelle 1.

Natürliche Dehydrierung von Passionsfrüchten und numerische Simulation.

Übergang von der hexagonalen zur chiralen Topographie durch Luftabsaugung.

Bildung chiraler Topographie durch Oberflächenstörung.

Chirale Topographie für adaptives Greifen.

Kontrastexperimente mit glatter Oberfläche

FEM-Quelldaten

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Nachdrucke und Genehmigungen

Xu, F., Huang, Y., Zhao, S. et al. Chirale topografische Instabilität in schrumpfenden Kugeln. Nat Comput Sci 2, 632–640 (2022). https://doi.org/10.1038/s43588-022-00332-y

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Eingegangen: 23. April 2022

Angenommen: 09. September 2022

Veröffentlicht: 24. Oktober 2022

Ausgabedatum: Oktober 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s43588-022-00332-y

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